幾何分布
幾何分布とは、裏が初めて出た時点で終了して、裏が初めて出るまでに何回表が出たかの分布です。
この式の導出について、考えてみます。
幾何分布の導出
上の図を見ながら、説明していきます。
まず図の説明としては、
どれも裏が出たタイミングで終了しています。
裏が出た試行回数目を\(k\)とします。
そうすると、1回目から\(k-1\)回目までは表が出るということになります。
そして\(k\)回目に裏が出た場合の表と裏が出る組み合わせは1通りです。1回目から\(k-1\)回目は表と決まってしまうためです。
そして、裏が出る確率が\(1-p\)なので、1回裏が出る確率は\(1-p\)。
そして、表が出る確率が\(p\)なので、\(k-1\)回表が出る確率は同時なので掛け算して、\(p^{k-1}\)。
以上のことから、同時に起きるので、
\begin{eqnarray}
P(X=k)= p^{k-1}(1-p)
\end{eqnarray}
\(k-1\)はちょっと半端なので、\(k\)として、
\begin{eqnarray}
P(X=k)= p^{k}(1-p)
\end{eqnarray}
幾何分布の例
よく使われるケースとしては寿命とかですかね。
人生は表と裏で、表がめちゃくちゃ出やすい（つまり確率が1に極めて近い）コインを投げているイメージ。
1年ごとにその年の運命を決めるコイントスを行います。
そうすると、表がすごい出やすいので、
表が毎年連続で出ることが予想されます。そしてあるところで、まさかの裏が出てしまったとします。
そうすると、あなたの人生はそこで終了するわけです。
このように幾何分布は人生の寿命の分布にも考えることができそうです。
なので、こう想定することで、
例えばいろんな人の生きた年数データを取ったとします。
それに対して分布を出したいとなったときに、幾何分布のパラメータである確率\(p\)を求めるため、幾何分布で最尤法を使って求めます。
そうすると、そのデータに関してはもっともらしいパラメータ値を出すことができ、寿命の分布を出すことができます。
幾何分布のモーメント母関数
\begin{eqnarray}
M(t)
&=& E[e^{tx}] \\
&=& \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx}P(X=x) \\
&=& \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} \cdot p(1-p)^{x} \\
&=& p \sum_{x=0}^{\infty} \{e^{t}(1-p) \}^{x} \\
\end{eqnarray}
ここで、|\(e^{t}(1-p)\)|<1と仮定して、初項が\(p\)、等比が\(e^{t}(1-p) \)の無限等比級数から、
\begin{eqnarray}
M(t)
&=& \frac{p}{1-e^{t}(1-p)} \\
\end{eqnarray}
幾何分布の期待値
\begin{eqnarray}
M^{'}(t)
&=& \frac{d}{dt} \frac{p}{1-e^{t}(1-p)} \\
&=& \frac{0\cdot \{ 1-e^{t}(1-p) \} - p\cdot \{-e^{t}(1-p) \} }{ \{1-e^{t}(1-p) \}^{2} } \\
&=& \frac{- p\cdot \{-e^{t}(1-p) \} }{ \{1-e^{t}(1-p) \}^{2} } \\
\end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray}
E[X]
&=& M^{'}(0) \\
&=& \frac{- p\cdot \{-e^{0}(1-p) \} }{ \{1-e^{0}(1-p) \}^{2} } \\
&=& \frac{- p\cdot \{ -(1-p) \} }{ \{1-(1-p) \}^{2} } \\
&=& \frac{p(1-p)}{p^{2}} \\
&=& \frac{1-p}{p} \\
\end{eqnarray}
幾何分布の分散
\begin{eqnarray}
M^{''}(t)
&=& \frac{d}{dt} M^{'}(t) \\
&=& \frac{d}{dt} \frac{- p\cdot \{-e^{t}(1-p) \} }{ \{1-e^{t}(1-p) \}^{2} } \\
&=& \frac{pe^{t}(1-p)\{ 1-e^{t}(1-p) \}^{2} - pe^{t}(1-p) \cdot 2\{1-e^{t}(1-p) \} \cdot \{-e^{t}(1-p) \} }{ \{1-e^{t}(1-p)\}^{4} } \\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
E[X^{2}]
&=& M^{''}(0) \\
&=& \frac{pe^{0}(1-p)\{ 1-e^{0}(1-p) \}^{2} - pe^{0}(1-p) \cdot 2\{1-e^{0}(1-p) \} \cdot \{-e^{0}(1-p) \} }{ \{1-e^{0}(1-p)\}^{4} } \\
&=& \frac{p(1-p)\{ 1-(1-p) \}^{2} - p(1-p) \cdot 2\{1-(1-p) \} \cdot \{-(1-p) \} }{ \{1-(1-p)\}^{4} } \\
&=& \frac{p^{3}(1-p) + 2p^{2}(1-p)^{2}}{p^{4} } \\
&=& \frac{p(1-p) + 2(1-p)^{2}}{p^{2} } \\
&=& \frac{p-p^{2} + 2-4p+2p^{2}}{p^{2} } \\
&=& \frac{p^{2}-3p+2}{p^{2}} \\
&=& \frac{(p-1)(p-2)}{p^{2}} \\
\end{eqnarray}
よって分散公式から、
\begin{eqnarray}
V(X)
&=& E[X^{2}] - \{E[X]\}^{2} \\
&=& M^{''}(0) - \{M^{'}(0) \}^{2} \\
&=& \frac{(p-1)(p-2)}{p^{2}} - \frac{(p-1)^{2}}{p^{2}} \\
&=& \frac{(p-1)\{(p-2) - (p-1)\}}{p^{2}} \\
&=& \frac{-(p-1)}{p^{2}} \\
&=& \frac{1-p}{p^{2}} \\
\end{eqnarray}