統計学

ポアソン過程

2022年3月14日

\begin{eqnarray}
P(X_{0}) &=& 1 \\
P(X_{x+h} -X_{t} = 1) &=& 1 \\
P(X_{x+h} -X_{t} \geq 2) &=& o(h) \\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\frac{dp_{0}(t)}{dt} &=& -\lambda p_{0}(t) (k=0のとき) \\
\frac{dp_{k}(t)}{dt} &=& -\lambda p_{k}(t) + \lambda p_{k-1}(t) (k>1のとき) \\
\end{eqnarray}

証明

ポアソン分布は二項分布から間隔を狭めていき算出することができましたが、
実はその方法でなくてもポアソン分布を求めることができます。
そのやり方はポアソン過程と呼びます。
あれ?なんちゃら過程って聞いたこともある方いると思います。
そうです、過程なので、時系列で色々計測したことを用いて考える手法です。

過程というと以下のようなものがありますね。

証明

先程、以下を想定しました。
うまいぐらいに、滅多に起きないような過程の仮定を立てました。
\begin{eqnarray}
P(X_{0}) &=& 1 \\
P(X_{x+h} -X_{t} = 1) &=& 1 \\
P(X_{x+h} -X_{t} \geq 2) &=& o(h) \\
\end{eqnarray}
とします。

\begin{eqnarray}
P(N(t+h)=0) &=& P(N(t) = 0)P(N(t+h)-N(t) = 0) ・・・① \\
\end{eqnarray}
ということが言えます。
ここで、右辺の\(P(N(t+h)-N(t) = 0)\)について、

全事象であることから、
\begin{eqnarray}
P(N(t+h) -N(t) = 0) &=& 1 -( P(N(t+h)-N(t) = 1) + P(N(t+h) - N(t) \geq 2) ) \\
&=& 1 -( (\lambda(t)h+o(h)) + (o(h)) ) \\
&=& 1 -\lambda(t)h-o(h)-o(h) \\
&=& 1-\lambda(t)h - o(h)
\end{eqnarray}
となりますので、
①式は、
\begin{eqnarray}
P(N(t+h)=0) &=& P(N(t)=0)[1-\lambda(t)h-o(h)] \\
&=& P(N(t) = 0)[1-\lambda(t)h] +o(h)
\end{eqnarray}
※ ここでo(h)は限りなく0に近い数値で、掛け算したり、2乗値は無視とする

続いて、以下を考えます。
\(P(N(t+h)=n)\)

\begin{eqnarray}
P(N(t+h) -N(t) = n) &=& P(N(t) = n)P(N(t+h) - N(t) = 0) + P(N(t) = n-1)P(N(t+h)-N(t) = 1) \\
&=& P(N(t) = n)(1-\lambda(t)h -o(h)) + P(N(t) = n-1)(\lambda(t)h + o(h)) \\
&=& P(N(t) = n)[1-\lambda(t)h + P(N(t) = n-1)\lambda(t)h+o(h)] ・・・② \\
\end{eqnarray}
ここで、
①、②式が作成されました。ここで漸化式化していきたいと思います。
\((P(N) = n) = P_{n}(t)\)とすると、
①式より、
\begin{eqnarray}
P(N(t+h) -0) &=& P(N(t) = 0)[1-\lambda(t)h] \\
P_{0}(t+h) &=& P_{0}(t) - P_{0}(t) - P_{0}(t)\lambda(t)h \\
P_{0}(t+h) - P_{0}(t) &=& - P_{0}(t) - P_{0}(t)\lambda(t)h \\
\end{eqnarray}
ここで、\(h \neq 0\)の値として、hで両辺割り、\(h \to 0\)を取ると、
\begin{eqnarray}
\frac{P_{0}(t+h) - P_{0}(t)}{h} &=& \frac{ - P_{0}(t)\lambda(t)h}{h} \\
\lim_{h\to 0}{\frac{P_{0}(t+h) - P_{0}(t)}{h}} &=& \lim_{h\to 0}{ - P_{0}(t)\lambda(t)} \\
\end{eqnarray}
左辺は、まさしく微分の定義式、そして右辺には\(h\)がないので、ただの定数になるので、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}{P_{0}(t)} &=& - P_{0}(t)\lambda(t) \\
\end{eqnarray}

 

続いて、②式より、
\begin{eqnarray}
P(N(t+h) = n) &=& P(N(t) = n)[1-\lambda(t)h] + P(N(t) = n-1)\lambda(t)h \\
P_{n}(t+h) &=& P_{n}(t)[1-\lambda(t)h] + P_{n-1}(t)\lambda(t)h \\
P_{n}(t+h) &=& P_{n}(t)-P_{n}(t)\lambda(t)h + P_{n-1}(t)\lambda(t)h \\
P_{n}(t+h) - P_{n}(t) &=& -P_{n}(t)\lambda(t)h + P_{n-1}(t)\lambda(t)h \\
\end{eqnarray}
ここで、\(h \neq 0\)の値として、hで両辺割り、\(h \to 0\)を取ると、
\begin{eqnarray}
\frac{P_{n}(t+h) - P_{n}(t)}{h} &=& \frac{-P_{n}(t)\lambda(t)h + P_{n-1}(t)\lambda(t)h}{h} \\
\frac{P_{n}(t+h) - P_{n}(t)}{h} &=& -P_{n}(t)\lambda(t) + P_{n-1}(t)\lambda(t) \\
\lim_{h\to 0}{\frac{P_{n}(t+h) - P_{n}(t)}{h}} &=& \lim_{h\to 0}{-P_{n}(t)\lambda(t) + P_{n-1}(t)\lambda(t)} \\
\end{eqnarray}
左辺は、まさしく微分の定義式、そして右辺には\(h\)がないので、ただの定数になるので、

\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}{P_{n}(t)} &=& [ P_{n-1}(t) -P_{n}(t) ]\lambda(t) \\
\end{eqnarray}

 

微分方程式を解く

上で導いた以下2つの微分方程式を解きたいと思います。

ここで大事になるのは常微分方程式です。

\(y(x) = Cexp(Ax)\)(\(C, A\) : 定数) は、微分方程式\(y′ = Ay\) の一般解である。

\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}{P_{0}(t)} &=& - P_{0}(t)\lambda(t) ・・・③ \\
\frac{d}{dt}{P_{n}(t)} &=& [ P_{n-1}(t) -P_{n}(t) ]\lambda(t) ・・・④ \\
\end{eqnarray}

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