統計学

多次元正規分布


通常の正規分布では以下のような正規分布の定義があります。
\begin{eqnarray}
f(x | \mu, \sigma^{2} ) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}{exp(\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} )}
\end{eqnarray}
 

上記は1次元の正規分布で、確率変数が1つになります。
ここでは、確率変数が2つである多次元の正規分布の導出をしてみたいと思います。

多次元正規分布とは

多次元正規分布の定義としては以下です。
\begin{eqnarray}
f(x_{1}, ..., x_{n}|\mu, \sum) &=& \frac{1}{(2\pi)^{\frac{k}{2}} \sqrt{det(\sum)}} exp(-\frac{(x-\mu)'{\sum}^{-1}(x-\mu) }{2})   ・・・①
\end{eqnarray}
通常分母には分散値があったが、今回は\(\sum\)になっていて行列です。
なので、detをとって行列式計算をすることで定数にしていますね。
さらに、エクスポーネンシャルの中で分母に分散値があったが、これも分母に行列を置くことはできないので、上に置くために-1乗表記にして逆行列になっています。
(あくまで覚え方の話で、行列の-1乗(逆行列)が分子に持っていけるということではないです。)
 

今回は2次元正規分布を取り扱うので、確率変数を\(x_{1}, x_{2}\)とします。
そして平均を\(\mu = (\mu_{1}, \mu_{2})\)、分散は複数になると共分散というものになるので、\(\sum\)として、以下のように定義します。
\begin{eqnarray}
f(x_{1}, x_{2}|\mu, \sum) &=& \frac{1}{(2\pi)^{\frac{k}{2}} \sqrt{det(\sum)}} exp(-\frac{(x-\mu)'{\sum}^{-1}(x-\mu) }{2})
\end{eqnarray}
は相関係数を表しています。
分散は相関関係にも響き、複数の確率変数によって互いに影響をし合う可能性があるので、分散では1つの確率変数では定数という扱いですが、多次元の確率変数になる場合は共分散という行列のものになります。
 

①に計算を当てはめていきますが、当てはめるには以下の情報が必要になります。

  • \( det|\sum| \)
  • \( \sum^{-1} \)
  • \( (X-\mu)^{T}\sum(X-\mu)\)

 
\begin{eqnarray}
det|\sum| &=& \sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\omega^{2}} \\
\sum^{-1}
&=& \frac{1}{\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2} - \omega^{2}\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}} \\
\end{eqnarray}

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