ベルヌーイ分布・二項分布

ここでは、有名な離散分布の第1弾として、

ベルヌーイ分布
二項分布
ポアソン分布

について話していこうと思います。

Contents

1 ベルヌーイ分布
- 1.1 期待値$E[X]$と分散$V(X)$の計算
2 二項分布

ベルヌーイ分布

ポアソン分布の確率密度関数は以下です。

【ベルヌーイ分布】
確率変数$X$について、
1回の試行で表が出たら1($i.e.$ $X$ = 1)とし、
1回の試行で裏が出たら0($i.e.$ $X$ = 0)としたとき、
確率変数$X$は、以下の確率密度関数であるベルヌーイ分布に従う。
\begin{eqnarray}
P(X=k) = p^{k}(1-p)^{1-k}
\end{eqnarray}

ベルヌーイ分布は1回の試行で、正が出る確率のことをいいます。
つまり、1回何かをやった時、起こる場合と起こらない場合のような2つに事象を分けた場合の確率を意味しています。

ベルヌーイ分布の確率関数は以下となります。
$$
P(X=k) = p^{k}(1-p)^{1-k}
$$

コインを投げた時、表が出るとき$X=1$、裏が出るとき$X=0$とすると、
表が出る時$k=1$を代入すると、$P(X=1) = p$となり、表の出る確率を表し、
裏が出る時$k=0$を代入すると、$P(X=0) = 1-p$となり、裏の出る確率を表しています。

期待値$E[X]$と分散$V(X)$の計算

確率変数$X$の期待値は、
確率変数のとりうる値は0と1で、それぞれの出る確率は$1-p$、$p$なので、
$$
E[X] = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p
$$
となります。

確率変数$X$の分散は、分散は期待値(平均)からの確率変数の値の距離なので、
\begin{eqnarray}
V(X) &=& (0 - E[X])^{2}(1-P) + (1 - E[X])^{2}p \\
&=& p^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p \\
&=& p^{2}-p^{3}+p-2p^{2}+p^{3} \\
&=& p-p^{2} \\
\end{eqnarray}

二項分布

ポアソン分布の確率密度関数は以下です。

【二項分布】
確率変数$X$について、
$X= X_{1} + X_{2} + \cdot \cdot \cdot + X_{n}$
とするとき、確率変数$X$は以下の確率密度関数である二項分布に従う。
\begin{eqnarray}
P(X=k)={}_nC_k p^ k(1-p)^{n-k}
\end{eqnarray}

二項分布とは、「2つの事柄に対して、$n$回試行した時、片方が$k$回出る確率のこと」を言います。

主な事象例としては、2つの事柄なので、コインの裏表を考えた時、
$n$回コインを投げた際に$k$回表が出る確率のこと。

二項分布は確率変数はこの1回の試行の表か裏ではなく、
n回の試行した結果表が何回出たかが確率変数になります。
なので、
$$
X=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}
$$
この$X_{1}$、$X_{2}$、...は1回投げて表か裏なのでベルヌーイ分布です。

さらには無理やり2つの事柄にして考えると、例えばサイコロ。
サイコロで1,2,3,4が出た場合を表とし、5,6が出た場合を裏とすれば、サイコロも2つの事柄になります。

このように世の中のいろんな事象を2つの事柄に置き換えると、この分布を利用してさまざまな計算ができる特徴があります。

$$
P(X=k)={}_nC_k p^ k(1-p)^{n-k}
$$

この式の導出について、考えてみます。

上の図を見ながら、説明していきます。

試行回数$n$回うち$k$回表が出るとします。
でも何回目で表が出るかわかりません。
ただ、$k$回表が出るということは、$n-k$回は裏が出ると分かります。

$①$ まず出る順番（上の図）の組み合わせは、${}_nC_k$通り。
$②$ そして、表が出る確率は$p$で同時に表が今$k$回出るので、確率の積により$p^{k}$。
$③$ そして、裏が出る確率は$1-p$で同時に裏が今$n-k$回出るので、確率の積により$(1-p)^{n-k}$。

これらは同時に起きるので、全てを掛け算して、
$P(X=k)={}_nC_k p^ k(1-p)^{n-k}$
となります。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd

#二項分布乱数
n =100
p =0.4
data_rb= np.random.binomial(n, p, size=1000)
print(data_rb)

bins = np.arange(20, 60)-0.5
plt.hist(data_rb, bins, density=True)

#二項分布理論値
from scipy.stats import binom
#x: data_rbの範囲...integer
k = range(min(data_rb),max(data_rb))
binom_pmf = binom.pmf(k, n, p)

plt.plot(k, binom_pmf)

二項分布のモーメント母関数
期待値と分散

確率関数の形を見ると、
二項分布とベルヌーイ分布の形は似ています。
それもそのはず、両方とも表と裏のような相反する事象(2つの事象が出るかどうか)と、二項分布は試行回数が複数回、ベルヌーイ分布は1回のみ。
なので、二項分布の関数にn=1を入れると、ベルヌーイ分布と同じ確率関数になります。

ベルヌーイ分布・二項分布

ベルヌーイ分布

期待値\(E[X]\)と分散\(V(X)\)の計算

二項分布